圆周长公式推导

前几天看到有人再群里说如何推导 $C=2\pi r$，自己私下推导了一下。当然有些微积分的公式也忘了，群里求助了一些考研同学的帮助😂，本人数学废物实锤了。

1. 根据余弦公式有$\Large d^2=r^2+r^2-2r^2\cos\alpha$，则$\Large d=r\sqrt{2(1-\cos\alpha)}$

2. 多边形周长：$\Large C=\frac{2\pi}{\alpha}d=\frac{2\pi r}{\alpha}\sqrt{2(1-\cos\alpha)}$

3. 圆的周长：$\Large C=\lim_{\alpha\rightarrow0^+}\frac{2\pi r}{\alpha}\sqrt{2(1-\cos\alpha)}$

4. 计算：$\Large \lim_{\alpha\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}{\alpha}$

   $\Large \sqrt{1-\cos\alpha}=\sqrt{1-(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2})}=\sqrt{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2} (\because \sin\frac{\alpha}{2}>0)$

   $\Large \lim_{\alpha\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{2}\sqrt{(1-\cos\alpha)}}{\alpha}=\lim_{\alpha\rightarrow 0^+}\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}}{\alpha}=\lim_{\alpha\rightarrow 0^+}2\times\frac{(\sin\frac{\alpha}{2})^\prime}{1}=\lim_{\alpha\rightarrow 0^+}2\times\frac{\frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{1}=1$

5. 再带入上式可得 $\Large C=2\pi r$